群友分享了一道非常有意思的几何题，说是有人在求证

那好吧，我就试试。看着挺好玩的

(资料图片)

但是

@余温之尘，出来挨打！！！1111

看到这题，我的第一想法就是复数法...因为正方形太多了，复数坐标一看就很好算。虽然用直角坐标什么的也不难，但是感觉不如复数法

先把该标的点都标上

然后建个系吧，由于是复平面，所以以O点为原点建立复平面。

那么不熟悉复数法的同学就会问了，这O在哪呢？实轴虚轴的方向呢?

然而并不用管O在哪，方向怎么样，反正不会影响结果，所以不管了xxxx如果非要找。按习惯的话我会放在ABC的外心。方向，只要是逆时针为正角就好了，任意方向都能建。

我们先来证几个非常显然的引理

引理1：

引理2:的几何意义是，在复平面上对应的点绕原点逆时针旋转90°得到的点

读者自证不难。

现在，我们可以开始用复数法解决这个问题了

如图，显然由逆时针旋转90°得到，即

立即可得

同理可得

又由逆时针旋转90°得到，即

可得

同理可得

这样我们已经可以算出黄色区域的正方形的边长了。以为例。

则

这里直接用向量处理

则有

回到面积上。对于面积，有

这条式子已经证明了黄色区域与红色区域的面积关系。

由刚刚算的经验，我们可以很快写出的坐标。

则有

又是线段之间的长度关系。那么面积关系则是

紫色区域同理可得。

而

由长度关系我们又得到了面积比。

对于这题，这样就结束了。完结撒花（迫真）

结束了吗？

对于本题来说，已经结束了。可复数法还可以做到的远不只这些。

如果我们继续迭代，继续对紫色的正方形向外作正方形呢?

迭代n次以后，接下来的面积比应该是多少?

如果使用复数法，它就变成了一道复数列问题。我们接下来探究这个问题。

复制粘贴上面的过程，这组可以轻松地出来。

哇浪，这么复杂？（后跳）

别急，我们当然不需要求这个。还记得我们刚刚怎么求出面积比的吗？我们只需要求出不同迭代次数的正方形之间的边长的比例就可以了。

根据上面的推理可猜想

等式链当然很好证明，直接列式子就行了。对于平行链，我们可以用数学归纳法证明。

又由上述的讨论可知，n=1时成立，且

下证n=k时也成立

同样地

综上所述，归纳假设成立。这两条式子表明上述的平行链关系是成立的。

我们不仅证明了它成立，还可以把它转换成实数列问题。

根据上述关系，可以写出数列的递推式

我们只需要解这个方程。

这个方程涉及乘积的形式，所以令

n>=2时，将两边等式化简，则有

解得

这是一个二阶线性递推数列。用母函数、特征根等方法可以简单得到答案。直接上结果。

则有

这样就可以写出最终的答案了。

顺便再解一下和吧。显然

然后，写出最后的结果

用复数法我们还得到了一些其它小结论。平行链自然不用说。

对于题目本身:

首先，通过式子可以看出，正方形迭代时，边长缩放倍率会逐渐趋近

在几何上:

我们之前有一条式子长这样

这条式子的几何意义是，

上局部图。,故

这条式子说明了这个实际上也可以拿来单独成题了，用复数法也是非常容易的。

如果用纯几何方法解呢?

倒也不是不行。但是感觉非常麻烦，只演示红黄部分，剩下的真的没有写的欲望了qwq...

相加=0，即得，其余同理。

由此可得

后面的...用等角慢慢算吧。

比如这样用余弦定理，总能算出...但是懒得算了qwq...感觉不如复数法